Alle Aufgaben werden in Partnerarbeit bearbeitet. Eine Person ist der Pilot und bearbeitet die Aufgaben. Die zweite Person ist der Navigator und hat den Arbeitsauftrag offen und gibt Anweisungen, was zu machen ist. Nach jeder Unteraufgabe werden die Rollen getauscht.
Grundwissen
Bestimme den charakteristischen Verlauf der folgenden Funktionen. Tipp: x^2 bedeutet x².
Definition
Bewegt man sich nach links, dann geht x gegen -∞, also: x→-∞.
Bewegt man sich nach rechts, dann geht x gegen ∞, also: x→∞.
Nach oben geht es nach +∞. Nach unten nach -∞.
Hier werden die Grenzen (lat. Limes) der Funktion bestimmt. Man notiert die Grenzwerte kurz:
Entdecken
Öffne GeoGebra Classic, zeichne die folgende Funktion und bestimme den charakteristischen Verlauf von
Grenzwerte können auch Zahlen sein!
Hefteintrag
(Ja, abschreiben…)
Eigenschaften von Funktionen
Der Grenzwert
Graphen verlaufen nicht nur nach oben oder unten, sie können sich auch einer Zahl annähern.
Definition
Wenn der Funktionswert f(x) einer Funktion f sich beliebig nah an den Wert g annähert, so ist g ein Grenzwert von f. Kurzschreibweise:
Mathematisch korrekt notiert (Achtung Triggerwarnung): Der Grenzwert der Funktion f für x gegen unendlich ist g, wenn es für jedes d>0 ein x0 existiert, so dass für alle x > x0 gilt |f(x)-g| < d.
Grenzwerte bestimmen
Untersuche das Grenzverhalten für x→∞ und x→-∞ von der Funktion
Besitzt die Funktion einen Grenzwert (eine Zahl), dann konvergiert sie. Besitzt sie keinen Grenzwert, dann ist sie divergent bzw. divergiert sie.
Streifen
Untersuche das Grenzverhalten für x→∞ und x→-∞ von der Funktion
in folgender GeoGebra Umgebung: Grenzwert mit zufälligem Streifen. Gib dazu in der unteren Zeile die Funktion ein. Du kannst diese Umgebung auch selber erstellen, hier ist eine Anleitung.
Verändere g und den Streifen. Wenn du g richtig gewählt hast, dann gibt es immer einen Punkt ab dem der Graph in den Streifen eintritt, aber nicht mehr verlässt.
Untersuche jetzt das Grenzverhalten für x→∞ und x→-∞ von der Funktion
in dieser GeoGebra Umgebung: Grenzwert mit zufälligem Streifen.
Übersicht
Du hast bereits viele Funktionsarten kennen gelernt, z.B.:
- lineare Funktionen
- quadratische Funktionen
- gebrochen-rationale Funktionen
- Potenzfunktionen
- ganzrationale Funktionen
- Exponentialfunktionen
- trigonometrische Funktionen
Untersuche sie nacheinander allgemein auf Grenzwerte.